Τριχοτόμηση της γωνίας

[kasabastain]

Καλησπέρα

Από όταν ήμουν μικρός δεν με ενοχλούσε τίποτα περισσότερο όσο τα "αδύνατα" των Μαθηματικών.
Θυμάμαι τους καθηγητές μου να λένε: Η τριχοτόμηση της γωνίας, με κανόνα και διαβήτη, είναι αδύνατη, το είπε ένας μεγάλος μαθηματικός... ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος, το είπε ένας διάσημος μαθηματικός.... χωρίς, βέβαια να εξηγούν γιατί ή πώς γίνεται αυτό....
Τι θα πει αδύνατο; δεν μπορεί....

Έτσι αφιέρωσα το σχολικό έτος 1995-96 στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας.
Τι κατάφερα;
Να γράψω στις πανελλήνιες, στα Μαθηματικά 2 (δύο)!!!
Και να βρω έναν τρόπο τριχοτόμησης της γωνίας, ο οποίος επιστημονικά μπορεί να μην στέκει και πολύ, πρακτικά όμως βοηθάει στην εύρεση του 1/3.

ΛΟΙΠΟΝ

Θεωρούμε τη γωνία α



Γνωρίζουμε όλοι πολύ καλά ότι με κανόνα και διαβήτη μπορούμε πολύ εύκολα να διχοτομήσουμε μια γωνία. ΣΩΣΤΑ;



Ας το ξανακάνουμε λοιπόν..... κι ας το ξανακάνουμε.... κι ας το ξανακάνουμε



Όπως μπορείτε να διακρύνεται δεν διχοτομώ στην τύχη. Επιλέγω το δεξί μισό της γωνίας α και το διχοτομώ. Κατόπιν επιλέγω το αριστερό μισό του μισού και κατόπιν το δεξιό μισό του μισού του μισού...... κ.ο.κ.

Ας αφήσουμε για λίγο τη γεωμετρία και ας πιάσουμε τους αριθμούς να δούμε τι έχουμε κάνει....

Αρχικά έχουμε τη γωνία α. Η διχοτόμος της γωνίας α τέμνει το τόξο της γωνίας στο σημείο 1/2 (0.5). Οι επόμενες διχοτόμοι τέμνουν το τόξο στα σημεία 1/4, 3/8, 5/16, 11/32... μέχρι εκεί έχω ζωγραφίσει.
Αν το συνεχίσετε παίρνετε τα κλάσματα 21/64, 43/128, 85/256..................................
Έχουμε λοιπόν τη σειρά

1/2 -------- 1/4------- 3/8--------- 5/16--------- 11/32----------- 21/64 ---------43/128 ---------85/256
0.5 --------0.25 ------0.375 -------0.3125 ------0.34375 --------0.328125 ------0.3359375------ 0.33203125

Αυτή τη σειρά αν την κάνουμε τύπο θα πάρουμε:

(για κάθε άρτιο πλήθος διχοτομίσεων ισχύει το - και για κάθε περιτό πλήθος διχοτόμισης ισχύει το +)
Όπου x θεωρούμε το πλήθος των διαδοχικών διχοτομήσεων.

Aν απλοποιήσουμε λίγο αυτό τον τύπο θα πάρουμε:



Τώρα αν υποθέσουμε ότι έχουμε τον SUPER διαβήτη και συνεχίζουμε να διχοτομούμε επ’ άπειρον θα πάρουμε:


Πρακτικά μετά από 5 διχοτομήσεις (πράμα που μπορεί να κάνει όποιοσδήποτε κανονικός διαβήτης) έχουμε απώλεια του 1%!

[gman]

Και να βρω έναν τρόπο τριχοτόμησης της γωνίας, ο οποίος επιστημονικά μπορεί να μην στέκει και πολύ, πρακτικά όμως βοηθάει στην εύρεση του 1/3.

Πολύ ενδιαφέρον! Γιατί όμως ο συγκεκριμένος τρόπος να μην στέκει επιστημονικά;

[xstyl]

γιατι στην πραγματικοτητα δεν τριχωτομει την γωνια γιατι εχει απωλεια 1%.

[gman]

Και το ανάπτυγμα Taylor έχει ένα σφάλμα, το οποίο προστίθεται. Δεν τίθεται όμως θέμα για το αν το ανάπτυγμα Taylor "στέκει επιστημονικά". Αν αυτός είναι ο λόγος νομίζω ότι μια χαρά "στέκει". Έτσι κι αλλιώς μετά από πολλές διχοτομήσεις το σφάλμα τείνει στο μηδέν.

[μανκαλστάιν]

Στέκει...
Αλλα νομίζω οτι το πρόβλημα έλεγε για κανόνα και διαβήτη
Οταν μπαίνει η έννοια του ορίου που τείνει στο άπειρο πάμε σε άλλον τομεα των μαθηματικων.
Μαλλον καπου εκει δεν κολλάει με το ζητούμενο.
θέλουμε ακριβώς την τριχοτόμηση της γωνίας. Κάτι που για να πετύχουμε, σύμφωνα με αυτον το τρόπο,
θα πρέπει να κάνουμε άπειρες διχοτομησεις.
Δέν ξερω αν έχω δίκιο...
Πάντως ,οπως και να είναι, ειναι πολύ ωραία απόδειξη...

[nantia]

Ουσιαστικά το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία αφαιρούμε απο αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόμηση όμως μιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγματι από τη τριγωνομετρία μας είναι γνωστή η σχέση στην οποία αν θέσουμε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουμε τις πράξεις θα φθάσουμε στη x3-3αx2-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόμησης. Η κατασκευή με χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή μόνο αν μπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθμιο και ένα δευτεροβάθμιο, όμως αυτό αποδείχθηκε μόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο.


ΦΙΛΕ ΟΧΙ ΔΕΝ ΠΗΡΑ 2 ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ .
ΚΑΙ ΟΥΤΕ ΟΛΑ ΑΥΤΑ ΤΑ ΑΝΑΚΑΛΗΨΑ ΣΗΜΕΡΑ
ΑΛΛΑ ΟΛΟΙ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΝΟΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΥ ΝΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΕΙ ΤΗΝ ΑΛΗΘΕΙΑ
ΑΛΛΑ Η ΙΔΙΑ Η ΑΛΗΘΕΙΑ .
ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΤΟ GOOGLE ΒΡΗΚΑ ΠΑΝΩ ΑΠΟ 30 ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΥΝ. ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΟΦΕΙΛΩ ΝΑ ΟΜΟΛΟΓΗΣΩ ΟΤΙ ΜΟΙΑΖΟΥΝ ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΚΗ ΣΟΥ.

[nantia]

φιλε kasabastain.

respect και παλι respect

εμαθα οτι σε συνδεουν δεσμοι αιματος με τον gman
οποτε ποια ειμαι εγω για να αμφησβητησω αυτο το κληρονομικο χαρισμα
λοιπον το fields ανήκει δικαιωματικα στης γριας το πηδημα
και στο σοι.

Υ.Γ ΞΕΡΩ ΟΤΙ ΑΥΤΟ ΤΟ POST
ΘΑ ΠΑΕΙ ΚΑΤΕΥΘΕΙΑΝ ΣΤΟΝ ΚΑΔΟ ΑΛΛΑ
ΔΕΝ ΜΠΟΡΩ ΕΛΕΟΣ.
ΧΙ ΧΙ ΧΙ
RESPECT

[kasabastain]

Φίλη Νάντια

Δεν χρειάζεται να απολογήσαι. Αλλα:
1. Δεν ευήβρα αυτή τη μέθοδο για να φτιάξω έναν ακόμα τύπο.
2. Την εποχή που την ευήβρα στην Άνδρο καλά καλά δεν υπήρχε τηλέφωνο θα υπήρχε internet;!!;;
3. Όσον αφορά το 2 στα Μαθηματικά το ανέφερα χάριν αστεϊσμού. Φυσικά και δεν πήρα 2. 3 είχα πάρει. Και
4. Πάσα ομοιότης με τον gman είναι συμπτωματική.

Υ.Γ. Δεν πιστεύω να σου είπε ότι είναι γιος μου; Σε όλους το ίδιο ψέμα λέει.....

ΠΡΟΣ

[nantia]

μια απλη βιβλιοθήκη σιγουρα κάπου θα υπήρχε
και η βαση της απόδειξης που μας εδειξες σιγουρα θα βρισκονταν σε καποιο βιβλιο μαθηματικών
μιας και οι πρωτομαστορες της εζησαν 2500 χρονια πριν.

Υ.Γ ΟΧΙ ΣΤΗΝ ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΔΕΝ ΜΕ ΠΑΡΑΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΕ

[gman]

Για την ιστορία της υπόθεσης, το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας με κανόνα και διαβήτη ήταν ήδη γνωστό από την αρχαιότητα. Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες, όμως, όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο της τετραγωνίζουσας, της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια. Έτσι, με τη βοήθεια αυτής της καμπύλης, ο Ιππίας ο Ηλείος κατάφερε να δώσει και την πρώτη λύση του προβλήματος.